La lógica proposicional (página 2)

Otra circunstancia que hace difícil el
condicional es cuando tiene antecedente falso, pero se pueden
poner ejemplos pertinentes (por ejemplo, con una fuerte
relación de causalidad entre antecedente y consecuente)
para convencernos, al menos de que es preciso adoptar una
convención al respecto. Es así como ironizamos en
castellano. Una anécdota para condicionales con
antecedente y consecuente falso es la siguiente:

2. Dos periodistas que no se podían ver. El
primero publica en el diario local una foto de su hijito
disfrazado de rociero, con el siguiente pié:

Fotografía del simpático
rociero Pepito Ruiz, hijo del brillante escritor
D. José Ruiz.

Al día siguiente aparece, en la
misma página, el siguiente insulto rimado:

Si tu hijo es rociero y tú un escritor
brillante, yo soy Felipe III, Genoveva de Brabante y el hijo del
Espartero.

3. Elegid la formalización adecuada
(y/o sus equivalentes, si las hubiera). (a) Si Pedro juega al
badminton (P), Quiteria también
(Q)

(b) Pienso (P), luego
existo (Q)

© No pienso, luego existo.

(d) El fuego (P) es la
causa del humo (Q) (e) El fuego siempre produce
humo.

(f) Sólo si Pedro juega al
bádminton, juega Quiteria.

4. Elegid la formalización adecuada
(y/o sus equivalentes, si las hubiera). (a) Pedro irá
al dentista (P), tanto si quiere (Q)
como si no quiere.

(b) La magia del cuento se revela
(P) sólo cuando Pinocho miente
(Q) o Blancanieves muerde la manzana
(R)

(c) El certificado tiene validez
(P), si está firmado por el director del
departamento (Q), o por el tutor del proyecto
(R)

(d) La inflación
aumentará (P), a menos que baje la
emisión de moneda (Q) u ocurra un
milagro (R).

(e) Aristóteles, que era un
filósofo genial (P), sostiene que si el
mundo es eterno (Q), entonces el sol gira
(R)

(f) Leeré a Proust
(P), si me voy de vacaciones (Q) y
encuentro sus libros en oferta (R)

2.4 Las funciones
de verdad

Admitamos sólo dos valores de verdad: el
verdadero y el falso. Sobre la base de este presupuesto, un
argumento concreto puede ser sólo o verdadero o falso. La
verdad o falsedad de un conectivo proposicional depende de la
verdad o falsedad de los argumentos individuales. Intentaremos
indagar la naturaleza de los functores ya conocidos con respecto
a sus valores de verdad.

2.4.1 La negación

La negación es aquella función que
confiere a un argumento el valor de verdad opuesto. La
proposición «La lámpara está
encendida» puede ser verdadera o falsa referida a una
lámpara concreta. Si es verdadera, entonces la
negación «La lámpara no está en
funcionamiento» es falsa; si, por el contrario, la
proposición «La lámpara no está en
funcionamiento» es verdadera para una lámpara
determinada, entonces en estas circunstancias su negación,
«La lámpara está encendida», es falsa.
De esto se deriva que, al afirmar una frase, negamos
contemporáneamente la frase contradictoria.

Podemos definirla de la siguiente
forma:

La negación de un enunciado verdadero
será falsa y la de uno falso será
verdadera.

Esto se puede representar de un modo general con una
tabla de los valores de verdad:

p ¬ p verdadero falso

falso verdadero

C 1) el azul es un color

I 2) los ciervos son insectos

B 3) Bélgica es más
pequeña que Luxemburgo

V 4) San Marcos está en
Venecia

¿Qué proposiciones son
verdaderas?

El azul es verdaderamente un color y, por lo tanto
«C» es verdadera. Sin embargo, los ciervos no son
insectos, así que «I» es falsa y
consecuentemente «¬ I» es verdadera.
Bélgica tiene una superficie once veces más grande
que Luxemburgo. Por tanto, la proposición «B»
es falsa y «¬ B» es verdadera. Todos los turistas
saben que San Marcos es la Iglesia más importante de
Venecia y, por lo tanto, «V» es verdadera.

La pregunta se podría haber hecho también
en estos términos: ¿qué proposiciones son
falsas? Respuesta: ¬ C, I, B, ¬ V.

Una proposición concreta es, por tanto, verdadera
o falsa. La cosa es menos evidente si tenemos dos (A ? B), tres
(A ? B ? C) o más constantes.

En este contexto sería más apropiado
hablar de «argumentos» en lugar de
«constantes» dado que la ocurrencia repetida de
la misma constante vale como un solo argumento, así que el
valor de verdad de «A ? A ? A» depende
sólo de la constante «A». Si «A»
es verdadera, será verdadero todo el conectivo
proposicional, si «A» es falsa, este valor se aplica
nuevamente a toda la expresión; en efecto, una
afirmación que se repite tres veces no posee más
verdad o falsedad que la que tiene una ocurrencia
concreta. Si, sin embargo, nos encontramos con «A ?
B» y «A» es falsa, entonces queda
todavía abierta la cuestión del valor de verdad de
«B». De esto observamos que en el momento en que
tenemos que tratar con dos o más variables, existen
diversas combinaciones entre verdadero y falso.

Con un ejemplo se puede mostrar cómo es de grande
el número de combinaciones de dos variables. Supongamos
que tenemos en una bolsa con bolas de vidrio y de fermio. A
continuación introduzco dentro las dos manos y extraigo
dos bolas. Una breve reflexión nos hará ver que son
posibles las cuatro combinaciones siguientes: mano
izquierda mano derecha abreviación

Si interpretamos «v» como
«verdadero» y «f» como
«falso», entonces habremos representado las posibles
combinaciones de los valores de verdad de dos variables. A nivel
internacional se ha impuesto la siguiente forma de escritura:
«1» para «verdadero» y «0»
para «falso».

Una función de verdad con dos variables
está entonces unívocamente definida si se encuentra
establecido unívocamente el valor de verdad para cada uno
de los cuatro casos posibles. Lo cual equivale a una rigurosa
definición de los functores que ya conocemos. A
continuación los examinaremos más
atentamente.

2.4.2 La conjunción

«El cartero lleva una revista y un paquete».
Estas son dos proposiciones unidas por la conjunción;
formalmente se pueden representar así: «R ?
P».

Como ya se ha dicho, en el caso de que haya dos
variables existen cuatro posibilidades diversas de
combinación por lo que respecta a los valores de verdad.
Escribimos los cuatro casos bajo las letras «R» y
«P» en la siguiente tabla:

Este conectivo proposicional es verdadero sólo si
son verdaderas tanto la primera como la segunda
proposición, es decir, cuando el cartero lleva tanto la
revista como el paquete. Decimos, sin embargo, que es falsa tanto
si el cartero llega sin el paquete como si llega sin la revista,
y aún más si llega sin ninguno de los dos.
Interpretamos esta situación diciendo que el
espacio bajo la conjunción tiene un «1»
cuando ambas proposiciones valen «1»,
por lo tanto, sólo en la primera línea. Los otros
casos deben entonces ser rellenados con un «0». La
definición de «conjunción» sería
pues, en general, la siguiente:

La conjunción de dos enunciados
es verdadera si y sólo si ambos lo son.

De esta tabla de los valores de verdad
concluimos que la conjunción, por
definición, es verdadera si y sólo si son
verdaderas las dos proposiciones. Podemos escribir nuestro
resultado sobre la conjunción, en vez de
verticalmente, de modo horizontal: 1000. El número
mil no tiene nada que ver con esto; lo único que nos
interesa es la exacta definición del functor
«?».

Ejemplos de conjunción:

C ? V 1) El azul es un color y San Marcos
está en Venecia.

D ? A 2) 12 es divisible por dos y las
ciruelas son albaricoques.

P ? ¬ M 3) Paris es una ciudad y la
madera no arde.

¬ I ? ¬ S 4) Los esquimales no
viven en Italia y los negros no viven en el Polo
Sur.

¿Qué proposiciones son
verdaderas?

En el ejemplo 1) las dos proposiciones son verdaderas,
por lo tanto también su conectivo y la
macroproposición que las reúne por medio de este
último. En el caso 2) «A» es falsa dado que
las ciruelas no son albaricoques. Por lo tanto 2) es falsa aunque
la proposición «D» sea verdadera. Esto guarda
relación con la segunda línea de nuestra
definición, de la que, gracias al signo «0»
entre las dos, se pone de manifiesto que de
«p» verdadera y de «q» falsa, se
deriva el falso. Ya que todos saben que la madera arde,
«M» es verdadera y «¬ M» falsa, por
lo que también la 3) es falsa. Para los esquimales Italia
sería una tierra demasiado caliente y, en efecto, no viven
allí: por tanto «¬ I» es verdadera. Y
viceversa, los negros encontrarían el Polo Sur demasiado
frío y, entonces, «¬ S» es verdadera. Como
los dos argumentos de la conjunción son verdaderos, toda
la proposición 4) es verdadera.

2.4.3 La
disyunción

Como ejemplo de disyunción elegiremos la
proposición «Como postre hay queso o fruta».
Con «disyunción» entendemos aquella
función a dos argumentos que es falsa si y sólo si
ambos argumento son falsos, es decir, si no hay ni fruta ni
queso. De este modo, en general, la tabla de los valores de
verdad de la disyunción se presenta así:

La disyunción de dos enunciados es verdadera
si al menos uno de ellos lo es.

También aquí el resultado de la
definición se lee en columna debajo del functor
«?», resultado que puede ser también escrito
horizontalmente: 1110. El functor puede expresarse
así en el lenguaje ordinario: «una u otra o
también ambas». Esto corresponde exactamente al
«vel» latino, que desgraciadamente no tiene
el mismo significado que la disyunción
española «o». La fórmula
«y/o» que se encuentra a veces en textos
jurídicos y en otros lugares también, como en
trabajos teológicos, es por tanto un pleonasmo, como la
tabla pone claramente en evidencia.

El vocablo «o» del lenguaje ordinario puede,
sin embargo, asumir un significado contrario: puede ser una
disyunción exclusiva. Intentemos clarificar el concepto
con un ejemplo: «Alberto es católico o es
protestante». Ya que no es posible pertenecer a las dos
confesiones contemporáneamente, la tabla de los valores de
verdad se presenta en este caso así: 0110. Este
«o» exclusivo se traduce en latín con
«aut-aut». La consiguiente distinción
latina no ha sido recibida en la lengua española o, por
ejemplo, en la alemana, de modo que es sólo el contexto el
que nos puede ayudar a esclarecer si se trata de una
disyunción inclusiva o exclusiva. Debo saber
anticipadamente la relación que existe entre
católicos y protestantes para comprender que, en el
ejemplo anterior, se trata de una disyunción exclusiva.
Menos ambiguamente se debería decir:

«Alberto o es católico o es
protestante». Pero el lógico no tiene prescripciones
que recomendar al lenguaje ordinario para obtener una mayor
coherencia; se limita a constatar como en el lenguaje de todos
los días se habla sin prestar atención a lo que se
dice y que es sólo por la enorme redundancia por lo que no
se produce un caos verbal.

EL PRESENTE TEXTO ES SOLO UNA SELECCION DEL TRABAJO
ORIGINAL.
PARA CONSULTAR LA MONOGRAFIA COMPLETA SELECCIONAR LA OPCION
DESCARGAR DEL MENU SUPERIOR.